Uni Graz Online:

621.242

Erster Termin:

4.10.2016

Bei der Lehrveranstaltung handelt es sich um eine Vorlesung verbunden mit Übungen (VU). Der Vorlesungsteil wird für alle Studierenden gemeinsam abgehalten, der Übungsteil findet in Gruppen statt. Dabei findet jede Woche, im Wesentlichen abwechselnd, ein Vorlesungs- oder Übungstermin zu je 90 Minuten statt.

Vorlesungstermine (HS 10.11, Dienstag):

4.10., 16:00-17:30 und danach 11.10., 25.10., 8.11., 22.11., 6.12., 10.1., 24.1. jeweils 15:15–16:45.

Übungstermine (Montag):

17.10., 31.10., 7.11., 14.11., 28.11., 12.12., 16.1., 30.1.

Klausur zum Übungsteil:

Freitag, 3.2.2017, 11:45–13:15, HS 06.01 (Willi-Gaisch-Hörsaal).

Nachklausur zum Übungsteil:

Donnerstag, 9.3.2017, 13:30–15:00, HS 10.11.

Siehe 621.242 für Änderungen der Zeit oder des Ortes der Lehrveranstaltung.

Inhalte

Zum Vorlesungsteil gibt es ein Skriptum, das laufend erweitert und aktualisiert wird (Kommentare/Fragen zu unklaren Stellen oder Fehlern sind willkommen).

4.10.2016

Vorlesung: Einführung, Division mit Rest, Teilbarkeit, Definition von ggT und kgV (bis inkl. Def 1.5 mit darauffolgendem Beispiel, aber ohne Bemerkung nach Def. 1.5)

11.10.2016

Vorlesung: Charakterisierungen, Existenz und Eigenschaften von ggT und kgV [in Lemma 1.12 nur Teil für kgV bewiesen], euklidischer Algorithmus (bis inkl. Satz 1.15)

17.10.2016

Übungsblatt 1: Division mit Rest, Teilbarkeit, ggT und kgV

25.10.2016

Vorlesung: Anwendungen von ggT und kgV (reduzierte Bruchdarstellung, rationale Nullstellen ganzzahliger Polynome, lineare diophantische Gleichungen), Primzahlen, Fundamentalsatz der Arithmetik (bis inkl. Satz 2.5)

7.11.2016

Übungsblatt 2: ggT und kgV, euklidischer Algorithmus

8.11.2016

Vorlesung: Verteilung der Primzahlen, ggT und kgV mittels Primfaktorenzerlegung, Fermatsche und Mersennesche Zahlen, vollkommene Zahlen (Kapitel 2 fertig; Beispiel nach Lemma 2.14 ausgelassen)

14.11.2016

Übungsblatt 3: Primzahlen

22.11.2016

Vorlesung: Kongruenzen und Restklassen (bis inkl. Abschnitt 3.1.1)

28.11.2016

Übungsblatt 4: Primfaktorenzerlegung, Kongruenzen (Korrektur am 28.11.: In Ü1 muss in der Definition eines irreduziblen Element p≠1 vorausgesetzt werden.)

6.12.2016

Vorlesung: Lineare Kongruenzen, Restklassenringe, Chinesischer Restsatz (bis inkl. Korollar 3.20; aber dieses noch ohne Beweis)

12.12.2016

Übungsblatt 5: Kongruenzen, Prüfsummen, Restklassenringe, Satz von Wilson

10.1.2017

Vorlesung: Chinesischer Restsatz, Prime Restklassen und Eulersche Phi-Funktion, Teilbarkeitskriterien (Kapitel 3 abgeschlossen); g-adische Zifferndarstellung (Satz & Def 4.1 und die Bemerkung nach Lemma 4.2). (Wir werden die g-adische Zifferndarstellung (Satz & Def 4.1; Korollar 4.3) ohne Beweise durchgehen und machen dann Abschnitt 4.1 wieder mit Beweisen.)

16.1.2017

Übungsblatt 6: Chinesischer Restsatz, kleiner Satz von Fermat, Teilbarkeitskriterien, Pythagoräische Tripel (Korrektur von Ü3 am 16.1.)

24.1.2017

Vorlesung: g-adische Zifferndarstellung rationaler Zahlen; kurzer Ausblick: Elliptische Kurven (Folien)

30.1.2017

Übungsblatt 7: Multiplikative Ordnung, g-adische Zifferndarstellung rationaler Zahlen

3.2.2017

Klausur zum Übungsteil

9.3.2017

Nachklausur zum Übungsteil

Beschreibung

Die Lehrveranstaltung bietet eine Einführung in die elementare Zahlentheorie mit Augenmerk auf schulrelevante Anwendungen. Eine grundsätzliche Vertrautheit mit der Hochschulmathematik (Beweise, abstraktes Denken und mathematisches Formulieren) wird vorausgesetzt, inhaltlich gibt es aber keine besonderen Voraussetzungen.

Folgende Inhalte sollen abgedeckt werden:

• Teilbarkeit in den ganzen Zahlen (Teilbarkeit, Division mit Rest, ggT und kgV, euklidischer Algorithmus) und Anwendungen (reduzierte Bruchdarstellung, rationale Nullstellen ganzzahliger Polynome, lineare diophantische Gleichungen),
• Primzahlen und der Fundamentalsatz der Arithmetik (weiters Sieb des Eratosthenes, Verteilung der Primzahlen),
• Kongruenzen (Rechnen mit Kongruenzen, Restklassenringe, Chinesischer Restsatz) und Anwendungen (Teilbarkeitskriterien),
• Zifferndarstellung im Dezimalsystem (und anderen Basen); Bestimmung von Perioden- und Vorperiodenlänge rationaler Zahlen.

Ablauf der Übungseinheiten

Die Übungsbeispiele werden ca. zwei Wochen bevor sie in der Übung behandelt werden hier zur Verfügung gestellt. (Beispiele, die sich auf die Vorlesungseinheit eine Woche vor der Übung beziehen, werden als solche gekennzeichnet.) Die Studierenden lösen die Beispiele und tragen sie in der nächsten Übungsstunde an der Tafel vor.

Es gibt drei Arten von Beispielen:

Trainingsbeispiele:

Kurze Beispiele zur Selbstkontrolle. Werden in den Übungsstunden nicht behandelt.

Übungsbeispiele:

Sind in der Übungsstunde vorzurechnen.

Mit Stern markierte Übungsbeispiele:

Werden auch in den Übungen behandelt; umfangreicher oder fordernder als „normale“ Übungsbeispiele.

Die Tafelmeldungen erfolgen freiwillig. Pro Tafelmeldung können 0-2 Punkte erreicht werden.

Anwesenheit

Da es sich um eine Lehrveranstaltung mit immanentem Prüfungscharakter handelt, herrscht grundsätzlich Anwesenheitspflicht. Sie sollten bei maximal 2 Übungseinheiten fehlen.

Beurteilung

Die Beurteilung des Übungsteils erfolgt durch eine Endklausur und Mitarbeit (hauptsächlich Tafelmeldungen):

• 0-4 Punkte für Tafelmeldungen (0-2 Punkte pro Tafelmeldung),
• 0-12 Punkte für Klausur,
• 0-1 Bonuspunkte für Mitarbeit.

Die Beurteilung des Vorlesungsteils erfolgt durch eine mündliche Prüfung. Voraussetzung zum Antritt zur mündlichen Prüfung ist ein positiver Abschluss des Übungsteils.

Voraussetzungen für einen positiven Abschluss der Lehrveranstaltung:

• mindestens 1 erfolgreiche Tafelmeldung¹ (zumindest 1 Punkt);
• mindestens 6 Punkte auf die Endklausur des Übungsteils;
• mindestens 8 Punkte im Übungsteil (Klausur+Tafelmeldungen);
• positive mündliche Prüfung über den Vorlesungsteil.

Die Gesamtnote ergibt sich als Mittelwert der Noten für Übungs- und Vorlesungsteil (sofern beide Teile positiv sind).

Literatur

Als begleitende Literatur eignen sich unter anderem folgende Lehrbücher.

• P. Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie, 6. Aufl, Springer Verlag, 2008. (Online Zugriff)
• D. M. Burton, H. Dalkowski, Handbuch der elementaren Zahlentheorie, Heldermann Verlag, 2005.
• R. Remmert, P. Ullrich, Elementare Zahlentheorie, 3. Aufl., Birkhäuser Verlag, 2008. (Online Zugriff)

Empfehlenswert ist auch folgendes (englischsprachige) Buch, das einen deutlich anderen Aufbau vorweist. Es behandelt auch Anwendungen in der Kryptographie behandelt und weist Codebeispiele (für das Computeralgebrasystem Sage) auf.

• W. Stein, Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and Secrets, Springer Verlag, 2008. (Online Zugriff)

Für weitere Literaturempfehlungen, insbesondere Bücher die den algebraischen Standpunkt stärker hervorheben (teilweise aber auch entsprechende Vorkenntnisse verlangen), siehe auch die Literaturliste von Günter Lettl.