Vorlesung

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Woche 1: Wiederholung, Koordinatentransformationen

Video: Einleitung (16min): 00:00 - Organisatorisches; 12:10 - Kurzüberblick Inhalte
Video: Vektorräume & Beispiele (Zusammenfassung LA1) (40min): 00:00 - Vektorraum, lineare Abbildung; Beispiele: 04:25 - Spaltenvektoren; 10:55 - Pfeile im Rn ; 22:20 - Funktionenräum, Polynome; 29:50 - Höherdimensionale Daten; 31:50 - Codierungstheorie/Lineare Codes
Korrektur (ca. 29:00): Die Skalarmultiplikation bei den Polynomen betrifft natürlich auch \( a_0 \) (Abschrift S.4)
Video: Basen & Koordinatensysteme (Zusammenfassung LA1) (24min): 00:00 - Basen; 03:25 - Koordinatensysteme; 12:55 - Hintereinandersführung von linearen Abbildungen/Matrizenprodukt; 18:15 - Invertierbare (reguläre) Matrizen und die allgemeine lineare Gruppe
Video: Koordinatentransformationen (37min): 00:00 - Koordinatentransformationen für Vektoren; 12:24 - Eigenschaften von Transformationsmatrizen; 20:43 - Koordinatentransformationen für Matrizen; 34:25 - Äquivalenz & Ähnlichkeit von Matrizen
Abschrift

Woche 2: Elementarmatrizen; Determinanten im R²

Video: Elementarmatrizen I (22min): 00:00 - Def. Elementarmatrizen; 04:30 - Zeilen-/Spaltenoperationen; 13:45 Inverse
Video: Elementarmatrizen II (27min): 00:00 - Invertierbare Matrizen als Produkte von Elementarmatrizen; 16:10 - Berechnung der Inversen; 23:40 - Anwendung auf Matrixäquivalenz
Kleine Korrektur bei ca. 15:00: Die Reihenfolge der \( B_i^{-1} \) stimmt nicht (siehe S.6 der Abschrift).
Video: Motivation der Determinante im R² (28min): 00:00 - Einleitung; 01:17 - Determinante & Cramersche Regel für n=2; 10:45 - Invertierbarkeit (n=2); 15:35 - Anwendung: Inverse einer 2x2 Matrix; 19:23 - Orientierte Parallelogrammfläche
Abschrift

Woche 3: Determinanten - Definition, Eigenschaften und Eindeutigkeit

Video: Definition der Determinante (16min): 00:00 - Determinante im R² geometrisch (Eigenschaften); 07:35 - Notationen; 08:40 - Definition der Determinante
Video: Eigenschaften der Determinante (40min): 00:00 - Nullzeile, Skalare; 05:50 - Vertauschen von Zeilen; 10:40 - Addition des Vielfachen einer Zeile zur anderen; 13:25 - Dreiecksmatrizen; 21:22 - Blockdreieckmatrizen & Charakterisierung von \(det(A) = 0\); 26:53 - Multiplikativität; 38:57 - Der gesamte Satz
Video: Berechnung von Determinanten & Eindeutigkeit (34min): 00:00 - Rechenbeispiel 3x3 Determinante; 05:10 - Berechnung von Determinanten; 08:15 - Eindeutigkeit der Determinante; 11:56 - Beispiel: Herleitung einer Formel für 3x3 Determinante; 25:12 - Regel von Sarrus
Abschrift

Woche 4: Permutationen; Determinanten - Leibnizformel, transponierte Matrix, etc.

Video: Permutationen und die symmetrische Gruppe (38min): 00:00 - Motivation (Leibniz-Formel); 03:32 - Permutationen endlicher Mengen (symmetrische Gruppe); 19:50 - Signum einer Permutation; 31:40 - Die alternierende Gruppe
Video: Die Leibnizformel / Existenz der Determinante (20min): 00:00 - Existenz der Determinante via Leibniz-Formel; 17:00 - Bemerkungen
Video: Die transponierte Matrix (20min): 00:00 - Transponierte Matrix; 09:45 - Determinante der Transponierten; 15:53 - Eigenschaften der Determinante bzgl. der Spalten
Video: Weiteres Nützliches zu Determinanten (20min): 00:00 - Entwicklungssatz von Laplace; 07:00 - Cramersche Regel; 08:50 - Determinante eines Endomorphismsmus; 12:18 - Polynomring (Determinanten die Variablen enthalten)
Abschrift

Woche 5: Orientierungen; Kreuzprodukt; Eigenwerte

Video: Volumen; Orientierungen von Vektorräumen (32min): 00:00 - Determinante im \(\mathbb R^n \) als orientiertes Volumen; 11:30 - Orientierungen; 26:30 - Bemerkung: Transformationssatz für mehrdimensionale Integrale
Video: Kreuzprodukt im ℝ³ (26min): 00:00 - Kreuzprodukt im ℝ³; 12:57 - Zusammenhang mit Standardskalarprodukt; 19:30 - Geometrische Interpretation des Kreuzprodukts
Video: Eigenwerte (28min): 00:00 - Eigenwerte und Eigenvektoren; 04:55 - Drehungen im (\mathbb R^2 \); 10:45 - Spiegelungen im (\mathbb R^2 \); 18:00 - Äquivalente Charakterisierungen von Eigenwerten; 21:38 - Eigenräume und geometrische Vielfachheit von Eigenwerten
Abschrift

Woche 6: Diagonalisierbarkeit, Polynome

Video: Diagonalisierbarkeit (38min): 00:00 - Definition Diagonalisierbarkeit; 9:30 - Lineare Unabhängigkeit von EV zu pw.16: verschiedenen EW; 16:30 - Hinreichendes Kriterium für Diagonalisierbarkeit; 23:43 - Charakterisierung der Diagonalisierbarkeit.
Bei 27:00: \(l_m\) sollte \(l_i\) sein. (Siehe Folie 7 der Abschrift)
Video: Polynome I (40min): 00:00 - Polynomfunktionen; 09:30 - Definition Polynome; 20:40 - Einsetzen von Werten; 22:25 - Polynome induzieren Polynomfunktionen; 27:25 - Gradfunktion und Nullteilerfreiheit
Video: Polynome II (32min): 00:00 - Polynomdivision; 09:25 - Nullstellen und Vielfachheit; 15:28 - Identitätssatz; 21:00 - Algebraisch abgeschlossene Körper; 25:15 - Abschließende Bemerkungen; 29:17 - Charakteristisches Polynom (Vorschau)
Abschrift

Woche 7: Charakteristisches Polynom, Jordansche Normalform

Video: Das charakteristische Polynom (45min): 00:00 - Charakteristisches Polynom; 10:35 - Grad und besondere Koeffizienten; 18:40 - Spur; 20:30 Eigenschaften; 23:20 - Beispiele; 29:54 - Algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts; 36:14 - Nocheinmal Diagonalisierbarkeit
Video: Jordansche Normalform (24min): 00:00 - Motivation; 02:35 - Definition Jordansche Normalform (JNF), Existenz (ohne Beweis!); 06:20 - Haupträume; 10:10 - Eindeutigkeit der JNF (ohne Beweis); 13:40 - Beispiel; 20:35 - JNF für Matrizen.
Abschrift

Woche 8: Innere Produkte

Video: Zusammenfassung zu Normalformen (14min)
Video: Innere Produkte (35min): 00:00 - Definition des Inneren Produkts (=Skalarprodukt); 10:40 - Beispiele; 26:40 - Definition: Euklidischer VR, unitärer Raum, Innerer-Produkt-Raum & die durch ein Skalarprodukt induzierte Norm; 30:10 - Grundeigenschaften.
Video: Innere Produkte und Normen (28min): 00:00 - Cauchy-Schwarzsche Ungleichung; 11:20 - Dreiecksungleichung; 14:25 - Definition: Normen und normierte Räume; 19:30 - Parallelogrammgleichung; 24:00 Beispiel;
Video: Inneres Produkt und Winkel (18min): 00:00 - Definition des Winkels in einem euklidischen VR; 06:00 - Interpretation im R2 mit dem Standardskalarprodukt; 14:45 - Satz von Pythagoras, Kosinussatz.
Abschrift

Woche 9: Orthogonalität, Gram-Schmidt

Video: Orthogonalität (42min): 00:00 - Def. Orthogonalität; 05:20 - Beispiele; 15:45 - Lineare unabhängig orthogonaler Vektoren; 24:30 - Koordinaten bzgl. ONB; 29:00 Orthogonale Zerlegung; 35:30 - Orthogonalität von UR
Video: Gram-Schmidt (25min): 00:00 - Orthonormalisierungssatz (Gram-Schmidt); 17:05 - Rechenverfahren
Video: Beispiele - Orthogonale Familien von Polynomen (15min): 00:00 - Bsp: Legendre-Polynome; 09:10 - Hermite-Polynome
Abschrift

Woche 10: Orthogonales Komplement, Orthogonale Projektion

Video: Orthogonales Komplement (25min): 00:00 - Definition des orthogonalen Komplements; 04:20 - Direkte Summenzerlegung; 14:00 - Beispiele
Video: Hessesche Normalform (31min): 00:00 - Wiederholung Geraden im \(\mathbb R^2\), Ebenen im \(\mathbb R^3\); 06:20 - Hyperebene; 08:20 - Hessesche Normalform; 19:30 - Abstand eines Punkts zu einer Hypereben.
Korrektur: Ab Minute 06:30: der Unterraum hat Dimension \(d − 1\) (nicht \(n − 1\)) und entsprechend sollten die Vektoren auch \( v_1, \ldots, v_{d-1} \) bzw. die Skalare \( \lambda_1, \lambda_2,\ldots, \lambda_{d-1} \) sein.
Video: Orthogonale Projektion (28min): 00:00 - Grundlegende Eigenschaften der orthogonalen Projektion; 20:25 - Abstandsminimierende Eigenschaft der orthogonalen Projektion; 24:25 - Beispiel im \(\mathbb R^3\).
Abschrift

Woche 11: Anwendungsbsp. für orthogonale Projektion; Orthogonale/Unitäre Endomorphismen

Video: Anwendung der orthogonalen Projektion (24min): Approximation einer stetigen Funktion (sin) auf einem kompakten Intervall durch Polynome. 00:00 - Ansatz; 07:20 - Berechnung (mit CAS)
Video: Orthogonale/Unitäre Endomorphismen/Matrizen (24min): 00:00 - Adjungierte Matrix; 04:00 - Orthogonale/unitäre Endomorphismen; 17:30 - Orthogenale/unitäre Matrizen
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Woche 12: Orthogonale/Unitäre Endomorphismen und Matrizen

Video: Orthogonale/Unitäre Endomorphismen und Matrizen II (24min): 00:00 - \( \operatorname{O}_n, \operatorname{U}_n, \operatorname{SO}_n \); 14:15 - Zusammenhang zw. orthogonaler [unitärer] Endomorphismen und orthogonaler [unitärer] Matrizen;
Video: Diagonalisierbarkeit unitärer Endomorphismen (27min): 00:00 - Orthogonalität von Eigenvektoren zu verschiedenen EW; 03:30 - Diagonalisierbarkeit; 14:45 - \( \operatorname{O}_1, \operatorname{O}_2 \)
Video: Die orthogonale Gruppe O_n (36min): 00:00 - Existenz invarianter 2-dimensionaler Unterräume; 18:25 - Normalform für Orthogonale Endomorphismen; 26:00 - Die 3-dimensionale Drehgruppe \( \operatorname{SO}_3 \)
Abschrift

Woche 13: Drehungen, Dualraum, Adjungierte Abbildungen

Video: Drehungen (37min): 00:00 - Zusammenfassung; 04:30 - Satz vom Fußball; 10:30 - Drehungen im \(mathbb R^2\) mit Hilfe der komplexen Zahlen; 21:45 - Drehungen im \(\mathbb R^3\) / Eulersche Winkel; 25:30 - Ausblick: Quaternionen
Video: Der Dualraum eines Inneren-Produkt-Raums (24min): 00:00 - Definition des Dualraums; 06:15 - Darstellungssatz von Riesz
Video: Adjungierte Abbildungen (31min): 00:00 - Existenz & Eindeutigket sowie Definition der adjungierten Abbildung; 13:30 - Eigenschaften; 18:30 - Matrixdarstellung der adjungierten Abbildung; 25:50 - Bild und Kern der Adjungierten
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Woche 14: Selbstadjungierte Endomorphismen; Abstand von Geraden

Video: Selbstadjungierte Endomorphismen (24min): 00:00 - Selbstadjungierte Endomorphismen, symmetrische Matrizen, selbstadjungierte/hermitesche Matrizen (Definition); 04:00 - Eigenwerte/Eigenvektoren; 9:20 - Diagonalisierbarkeit
Video: Abstand windschiefer Geraden im \(\mathbb R^3\) (45min): 00:00 - Problemstellung; 03:50 - Charakterisierung windschiefer Geraden im \(\mathbb R^3\); 07:30 - Minimierung des Abstands durch Fußpunkte eines gemeinsamen Lots; 15:35 - Ein kleines Lemma; 21:50 - Abstand windschiefer Geraden im \(\mathbb R^3\).
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Woche 15: Quadriken in der Ebene (Kegelschnitte)

Video: Quadriken in der Ebene (Kegelschnitte) (33min): 00:00 - Einleitung & Definition; 06:15 - Kompakte Schreibweise; 12:05 - Transformation von Quadriken
Korrektur: Bei 21:20 / Folie 4 der Abschrift ist nicht \( f(y) \) gemeint, sondern \( f^{-1}(y) \) (Umkehrfunktion).
Video: Hauptachsentransformation (31min): 00:00 - Klassifikation der Kegelschnitte mittels Hauptachsentransformation; 27:30 Satz (Zusammenfassung)
Video: Beispiel & Bemerkungen (18min): 00:00 - Beispiel zur Hauptachsentransformation; 12:30 - Bemerkung: Quadriken im \( \mathbb R^n \); Algebraische Geometrie; 16:25 - Ende
Noch eine kleine Korrektur (14:00): die Formel für das zweischalige Hyperboloid sollte lauten \( \frac{x_1^2}{\alpha_1^2} - \frac{x_2^2}{\alpha_2^2} - \frac{x_3^2}{\alpha_3^2} = 0 \).
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