Vorlesung

Die Vorlesung findet ausschließlich online statt.

Vorlesungsvideos

Video: Einleitung (8min): 00:00 - Organisatorisches; 05:45 - Inhalte der LV
Video: Division mit Rest (22min): 00:00 - Beispiel/Motivation; 01:35 - Satz (Division mit Rest); 15:30 - Anwendungsbeispiele
Video: Teilbarkeit in den ganzen Zahlen (25min): 00:00 - Definition der Teilbarkeit; 01:33 - Grundlegende Eigenschaften; 17:25 - Teilbarkeit als Partialordnung
Video: ggT und kgV (10min): 00:00 - Definition von ggT, kgV, Teilerfremdheit; 04:00 - Beispiel

Video: Charakterisierungen des ggTs/kgVs (38min): 00:00 - Bemerkungen zu & Eindeutigkeit von ggT/kgV; 10:35 - Äquivalente Charakterisierungen des ggTs; 27:00 - Existenz des ggTs; 29:40 - Charakterisierungen des kgVs; 34:35 - Existenz des kgVs

Video: Eigenschaften von ggT/kgV (34min): 00:00 - Einige Eigenschaften des ggTs; 16:32 - Zusammenhang zwischen ggT und kgV; 23:35 - Iterative Berechnung von ggT/kgV; 29:04 - kgV teilerfremder Zahlen
Korrektur: Bei ca. 03:00, beim Beispiel zur Notwendigkeit der Bedingung in 1.10(3) ist mir ein Fehler unterlaufen: Hier \( a = b = c = 2 \) nehmen um ein Gegenbeispiel zu erhalten. Danke für den Hinweis!

Video: Der euklidische Algorithmus (25min): 00:00 - Lemma; 03:45 - Beispiel; 05:25 - Euklidischer Algorithmus; 12:05 - Beispiel zum erweiterten euklidischen Algorithmus; 16:10 - Erweiteter euklidischer Algorithmus (ggT als Linearkombination); 22:00 - Bemerkungen
Video: Reduzierte Bruchdarstellung rationaler Zahlen (9min): 00:00 - Reduzierte Bruchdarstellung als Anwendung unseres Wissens über Teilbarkeit

Video: Weitere Anwendungen der Teilbarkeit (24min): 00:25 - Rationale Nullstellen ganzzahliger Polynomial; 07:10 - Ein Irrationalitätskriterium; 10:35 - Lineare diophantische Gleichungen
Video: Primzahlen (9min): 00:00 - Definition und äquivalente Charakterisierungen

Video: Fundamentalsatz der Arithmetik (Primfaktorzerlegung), Satz von Euklid (34min): 00:00 - Lemmata zu Primzahlen; 11:50 - Sieb des Eratosthenes; 13:35 - Fundamentalsatz der Arithmetik; 29:20 - Satz von Euklid (Unendlichkeit der Primzahlen)

Video: Verteilung der Primzahlen (24min): 00:00 - Primzahlsatz; 07:40 - Riemannsche Zeta-Funktion; 15:40 - Lücken in P; 19:03 - Primzahlzwillinge
Video: p-adische Bewertungen (9min): 00:00 - p-adische Bewertung und ihre elementaren Eigenschaften

Video: Teilbarkeit, ggT und kgV mit p-adischen Bewertungen (23min): 00:00 - Wiederholung und Notation; 04:00 - Teilbarkeit,ggT,kgV; 16:30 - Beispiel; 20:30 - Bemerkung
Video: Fermat- und Mersenne-Zahlen (19min): 00:00 - Vorbemerkungen; 11:23 - Definition der Fermat- und Mersenne-Zahlen; 12:25 - Bemerkungen zu Fermat-Zahlen; 15:25 - Bemerkungen zu Mersenne-Zahlen.
Korrektur: Bei 04:05 sollte die Summe bis \(k′ − 1\) gehen, nicht bis \(n − 1\).

Video: Kongruenzen (40min): 00:00 - Definition; 04:10 - Kongruenzen und Divisionsreste; 08:07 - Äquivalenzrelation; 10:45 - Rechenregeln I; 21:10 - Beispiel: letzte Ziffer der größten derzeit bekannten Mersennschen Primzahl; 32:10 - Beispiel: Teilbarkeit von \( F_5 \) durch 641.

Video: Kongruenzen II (14min): 00:00 - Rechenregeln II (veränderlicher Modul); 11:00 - Beispiel: nicht kürzbar
Video: Restklassen (27min): 00:00 - Definition der Restklassen und Bsp; 05:05 - Restklassen und Kongruenzen; 14:10 - Anzahl der Restklassen modulo m; 22:45 - Definition: vollständiges Restsystem

Video: Lineare Kongruenzen (9min)
Video: Restklassenringe (28min): 00:00 - Wiederholung: Gruppen; 02:30 - Ringe; 08:15 - Restklassenringe; 23:10 - Einheiten in Ringen

Video: Einheitengruppen, Körper (19min): 00:00 - Eigenschaften der Einheiten eines Ringes; Einheitengruppe; 06:45 - Beschreibung der Einheitengruppe von Restklassenringen; 14:20 - Charakterisierung der Körper unter den Restklassenringen
Video: Chinesischer Restsatz (20min): 00:00 - Chinesischer Restsatz (f. Kongruenzen); 07:50 - Variante für Restklassenringe und deren Einheitengruppen; 18:00 - Bem. zur Algebra

Video: Einheitengruppen II, Eulersche Phi-Funktion (33min): 00:00 - Potenzen von Elementen in Gruppen; 02:30 - Torsionselemente, Ordnung eines Elements; 09:40 - Ordnung eines Elements teilt die Ordnung der Gruppe; 13:50 - Definition: Eulersche φ-Funktion; 15:40 - Satz von Euler; 18:00 - Kleiner Satz von Fermat; 22:00 - Beispiele; 27:00 - Produktformel für Eulersche φ-Funktion

Video: Anwendung - Teilbarkeitskriterien (8min): 00:00 - Teilbarkeitsregeln für g-adische Zifferndarstellung (Satz); 02:45 - Einige Regeln in Dezimaldarstellung; 04:30 - Beweis
Video: Anwendung - Kryptographie (26min): 00:00 - Einleitung: Asymmetrische Kryptographie; 04:00 - RSA: Schlüssererzeugung; 08:20 - Ver- und Entschlüsselung; 15:45 - Bemerkungen zur Kryptographie